Про числа

By Андрей - andreydust@gmail.com
November 24, 2024

Системы счисления — это методы представления чисел с использованием определённого набора символов и правил. Они играют ключевую роль в математике, информатике и повседневной жизни. Понимание различных систем счисления и умение переводить числа между ними является фундаментальным навыком.

Основные системы счисления

Существует множество систем счисления, каждая из которых имеет своё основание — количество уникальных символов, используемых для представления чисел. Рассмотрим наиболее распространённые из них:

  • Двоичная система (основание 2): Использует только два символа: 0 и 1. Широко применяется в компьютерных технологиях, так как соответствует состояниям «включено» и «выключено» в цифровых схемах.

  • Троичная система (основание 3): Использует три символа: 0, 1 и 2. Хотя встречается реже, имеет применение в некоторых математических моделях.

  • Восьмеричная система (основание 8): Использует символы от 0 до 7. Ранее применялась в вычислительной технике, особенно в ранних компьютерах.

  • Десятичная система (основание 10): Наиболее привычная для нас система, использующая символы от 0 до 9. Является стандартом в повседневной жизни и большинстве научных расчётов.

  • Двенадцатеричная система (основание 12): Использует символы от 0 до 9, а также дополнительные символы для 10 и 11. Иногда применяется в культурных и исторических контекстах.

  • Шестнадцатеричная система (основание 16): Использует символы от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F для представления чисел от 10 до 15. Широко используется в программировании и компьютерной инженерии.

Широкий набор инструментов по переводу из различных систем счисления доступен на нашем сайте.

Принципы перевода между системами счисления

Перевод чисел из одной системы счисления в другую требует понимания их структур и правил. Рассмотрим основные методы перевода:

Перевод из любой системы счисления в десятичную

Чтобы перевести число из системы с основанием b в десятичную, необходимо разложить его на сумму произведений каждой цифры на b в соответствующей степени.

Пример: Переведём число 1011 из двоичной системы в десятичную.

  1. Определяем позиции цифр справа налево, начиная с нуля: 1, 1, 0, 1.
  2. Вычисляем: (1 × 2³) + (0 × 2²) + (1 × 2¹) + (1 × 2⁰) = 8 + 0 + 2 + 1 = 11.

Таким образом, 1011₂ = 11₁₀.

Перевод из десятичной системы в любую другую

Для перевода десятичного числа в систему с основанием b используется метод деления с остатком:

  1. Делим число на основание b.
  2. Записываем остаток — это младший разряд.
  3. Повторяем процесс с частным до тех пор, пока частное не станет нулём.
  4. Остатки, записанные в обратном порядке, образуют число в новой системе.

Пример: Переведём число 45 из десятичной системы в двоичную.

  1. 45 ÷ 2 = 22, остаток 1.
  2. 22 ÷ 2 = 11, остаток 0.
  3. 11 ÷ 2 = 5, остаток 1.
  4. 5 ÷ 2 = 2, остаток 1.
  5. 2 ÷ 2 = 1, остаток 0.
  6. 1 ÷ 2 = 0, остаток 1.

Записываем остатки в обратном порядке: 101101.

Таким образом, 45₁₀ = 101101₂.

Перевод между системами счисления с основаниями, кратными 2

Перевод между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами упрощается благодаря их кратности основанию 2.

  • Двоичная ↔ Восьмеричная: Группируем двоичное число по три бита (начиная с младших разрядов) и заменяем каждую тройку соответствующей восьмеричной цифрой.

  • Двоичная ↔ Шестнадцатеричная: Группируем двоичное число по четыре бита и заменяем каждую четвёрку соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

Пример: Переведём двоичное число 11010111 в шестнадцатеричную систему.

  1. Группируем по четыре бита: 1101 0111.
  2. 1101₂ = D₁₆, 0111₂ = 7₁₆.

Таким образом, 11010111₂ = D7₁₆.

Практическое значение

Понимание и умение переводить числа между различными системами счисления необходимо в следующих областях:

  • Программирование: Работа с различными форматами данных, адресация памяти, настройка системных параметров.

  • Сетевые технологии: IP-адресация, маски подсетей, работа с протоколами.

  • Электроника: Проектирование цифровых схем, работа с микроконтроллерами.

36-ричная система как самый экстремальный пример экзотической системы счисления

Перевод чисел в 36-ричную систему может показаться экзотическим, но на самом деле это очень полезный инструмент, особенно в определённых областях, таких как программирование, обработка данных и даже создание компактных идентификаторов.

Зачем использовать 36-ричную систему?

36-ричная система счисления использует символы от 0 до 9 и от A до Z, что делает её удобной для представления больших чисел в короткой форме.

Вот несколько причин:

  1. Компактное кодирование данных
    Большие числа занимают меньше места в 36-ричной записи. Это особенно важно в системах, где экономия памяти или места имеет значение (например, URL-адреса, коды купонов, токены API).

  2. Читаемость для человека
    36-ричная система использует буквы и цифры, что позволяет создавать легко читаемые строки. Например, идентификатор "3B7Z" проще интерпретировать, чем эквивалентное двоичное число.

  3. Уникальные идентификаторы
    Используется для генерации уникальных идентификаторов (UID) или ключей, которые не только компактны, но и хорошо подходят для индексирования в базах данных.

  4. Эстетика и пользовательский опыт
    Веб-адреса, коды и ключи, которые содержат буквы и цифры, выглядят аккуратнее и понятнее пользователям.

Пример: генерация коротких идентификаторов

Представьте, что вам нужно сгенерировать уникальные идентификаторы для 100 миллионов пользователей. Если вы используете:

  • Десятичную систему: вам потребуется до 8 символов (100000000).
  • 36-ричную систему: это число превращается в 1NJCH (всего 5 символов).

Это экономия места на 37.5%! В больших масштабах это серьёзно влияет на эффективность.

Перевод из десятичной системы в 36-ричную

Пример: Переведём число 123456789 в 36-ричную систему.

  1. Делим число на 36, записывая остаток:

    • ( 123456789 \div 36 = 3429355 ), остаток 9.
    • ( 3429355 \div 36 = 95259 ), остаток 11 ((11 = B)).
    • ( 95259 \div 36 = 2646 ), остаток 3.
    • ( 2646 \div 36 = 73 ), остаток 18 ((18 = I)).
    • ( 73 \div 36 = 2 ), остаток 1.

  2. Записываем остатки в обратном порядке: 21I3B9.

Таким образом, ( 123456789_{10} = 21I3B9_{36} ).

Перевод из 36-ричной системы в десятичную

Чтобы перевести число из 36-ричной системы обратно в десятичную, используем степенное разложение:

Пример: ( 21I3B9_{36} )

  1. Каждую цифру умножаем на (36^n), где (n) — позиция (считая справа налево, начиная с нуля):

    • (9 \times 36^0 = 9),
    • (B \times 36^1 = 11 \times 36 = 396),
    • (3 \times 36^2 = 3 \times 1296 = 3888),
    • (I \times 36^3 = 18 \times 46656 = 839808),
    • (1 \times 36^4 = 1 \times 1679616 = 1679616),
    • (2 \times 36^5 = 2 \times 60466176 = 120932352).

  2. Складываем результаты: (9 + 396 + 3888 + 839808 + 1679616 + 120932352 = 123456789).

Где применяется 36-ричная система?

Примеры использования 36-ричной системы в реальной жизни

36-ричная система часто применяется там, где нужно эффективно кодировать информацию. Вот несколько конкретных примеров:

1. Адреса видео на YouTube

На YouTube каждая ссылка на видео содержит уникальный идентификатор, например:

https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ

Идентификатор dQw4w9WgXcQ — это строка из букв и цифр. Она может быть интерпретирована как число в системе счисления с основанием 36 (или даже выше, если учитывать прописные и строчные буквы). Использование 36-ричной системы позволяет YouTube создавать уникальные идентификаторы для миллиардов видео, при этом они остаются короткими и читаемыми.

Если бы YouTube использовал только десятичные числа, идентификаторы выглядели бы примерно так: 1234567890123456789, что гораздо менее удобно.

2. Короткие ссылки (URL shorteners)

Сервисы, такие как Bitly, сокращают длинные URL в удобные короткие строки. Например:

Длинный URL:
https://www.example.com/long-path-to-specific-page?with=query&parameters=true

Короткий URL:
https://bit.ly/3A1BcD

Идентификатор 3A1BcD на самом деле является представлением числа в 36-ричной системе. Это позволяет сервису создавать миллиарды уникальных ссылок без необходимости использовать длинные строки. Компактность также ускоряет загрузку страниц и делает ссылки удобными для пользователей.

3. Коды купонов и серийные номера

Многие компании используют 36-ричную систему для генерации уникальных промокодов и серийных номеров, например:

  • Промокод: SAVE2023B
  • Серийный номер: AB123-4C56D-E789F

Эти строки легко запоминаются пользователями, их удобно вводить, а использование букв и цифр позволяет создавать огромное количество уникальных комбинаций.

4. Системы отслеживания посылок

Курьерские компании, такие как FedEx, UPS и DHL, используют комбинации букв и цифр для отслеживания отправлений. Например:

UPS: 1Z999AA10123456784
FedEx: 449044304137821

Хотя эти системы могут использовать не только 36-ричную систему, но и более сложные алгоритмы, принцип тот же: буквы и цифры позволяют эффективно кодировать данные для уникальной идентификации.

5. Уникальные идентификаторы в базах данных

Компании, работающие с большими объемами данных (например, социальные сети или платформы электронной коммерции), часто используют 36-ричную систему для создания уникальных идентификаторов:

  • Идентификатор пользователя: U12A3FZ
  • Номер заказа: ORD1BX9Y

Это не только экономит место в базе данных, но и ускоряет операции поиска и индексации.

6. Хеши и токены в API

В разработке веб-приложений часто используются токены для аутентификации пользователей или доступа к API. Например:

Токен доступа: ab12cd34ef56gh78ij90kl

Благодаря использованию букв и цифр в 36-ричной системе (или выше), токены становятся компактными и уникальными.

7. Игры и достижения

В онлайн-играх часто используются короткие идентификаторы для сохранений, уровней или достижений. Например:

  • Идентификатор игрока: PL4YR1X
  • Код комнаты: ROOM3F7

Игровые платформы генерируют такие строки для удобства игроков, которые могут легко запомнить и использовать их.

Почему 36-ричная система так удобна?

  1. Компактность:
    Она позволяет представить большие числа с меньшим количеством символов. Например:

    • ( 1,000,000,000_{10} ) = GJDGXS_{36}.

  2. Читаемость:
    Строки, содержащие буквы и цифры, проще запомнить, чем длинные цифровые последовательности.

  3. Универсальность:
    Такие системы легко интегрируются в программные решения, базы данных и пользовательские интерфейсы.

Заключение

36-ричная система — это скрытый герой в мире технологий. Благодаря компактности, удобству и эстетике она используется везде: от YouTube до систем отслеживания посылок и генерации коротких URL. В следующий раз, увидев комбинацию букв и цифр, вы будете знать, что это результат работы умных математических алгоритмов!

Вопросы и комментарии по теме «Системы счисления: что это такое и как переводить числа между ними?»

« Назад ко всем публикациям